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In this study, the computing time using the ANN was up to 50% lower, than in the case of the FEM simulation. However, the accuracy of the ANN depends strongly on the trained data. Interpolations between provided training data could be a reason between differences of the ANN and FEM solutions viscoplastic쪽 “developed model replaces the nonlinear plastic correction procedure for the plastic loading path during the stress integration method while keeping the elastic linear and loading and unloading with a conventional physics-based scheme.” (Jang 등, 2021, p. 2)

2.An artificial neural network-based constitutive model

“2.1.Internal mechanism of artificial neural network”

information은 nodal value의 weight 과 bias를 이용한 선형 조합으로 전달됨 delivery 이후 node는 ReLU로 activated ANN 순서
(Jang 등, 2021, p. 3)

1. input variable의 normalization ⇒ input layer vector는 아래와 같게 됨
   $I=[x_1,x_2,\cdots ,x_{N(i)}{]}^T$
2. 1st hidden layer는 weighted sum 을 받게 되고, ReLU로 activated.
   activated nodal value H는 다음과 같음
   $H_i^{(1)}=f({\sum }_{j=1}^{N(i)}{W}_{ij}^{(1)}{x}_j+b_i^{(1)})$, 여기서 f가 ReLU, W는 weight, b는 bias
3. 이 과정을 반복함. 이전 node에서의 nodal value를 weight를 곱해 sum을 받은 뒤 해당 node에서의 bias를 더함
   $H_i^{(M)}=Relu{\sum }_{j=1}^{N(M-1)}{W}_{ij}(M)H_j(M-1)+b_i^{(M)}$
4. 마지막 Mth hidden layer에서 output variable 도출
   $y_i={\sum }_{j=1}^{N(M)}{W}_{ij}^{(out)}{H}_j^{(M)}+b_i^{(out)}$ cost function을 줄이는 방법으로 ADAM optimizer가 사용되었고, cost function으로 MSE가 적용됨 → MSE를 최소화하도록 trained, MSE 가 50 consecutive epoch 이상에서도 변화가 없으면 training stop

2.2.Solution algorithm of the artificial neural network-based constitutive model

Consistency condition을 활용해 given loading path가 plastic evolution을 야기하는지 확인함 $R=\bar{\sigma }\left({\sigma }^{TR}\right)-\rho \left({\bar{\epsilon }}^{p,n}\right)$ R은 residual for consistency condition , $\rho$ 는 corresponding flow stress, $\bar{\sigma }$  는 equivalent stress ⇒ 우리 과제에서는 **$\rho$ 는 Θ와 Κ 로 사용되었음, **원래는 hardening에 의한 term을 flow stress로 사용하는 것 같은데, 우리껀 여기에 dynamic term이 추가된 형태임. 이 값이 0 이하면, updated stress는 trial stress와 같음 → plastic strain is not accumulated, plastic correction 없음 이 값이 0보다 크면, plastic corrector step이 필요함. 기존 방식에서 iterative scheme으로 NR method를 많이 사용함. → plastic multiplier $\Delta \gamma$  를 계산하여 updated plane stress tensor${\mathbf{\sigma }}^{n+1}$ 를 구함 ${\mathbf{\sigma }}^{n+1}={\mathbf{\sigma }}^{TR}-{\mathbf{C}}^e\Delta \gamma \mathbf{P}{\mathbf{\sigma }}^{n+1}$ C는 plane stress elasticity matrix, $P=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{lll}2& -1& 0\\ -1& 2& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right]$ $\mathbf{s}=\mathbf{P\sigma }$ deviatoric stress로 매핑하는 텐서, 왜 식을 이렇게 썼는지 모르겠음 deviatoric stress가 아니라 normal vector가 들어가야할 것 같은데 여기에 NN 구성방정식을 적용할경우

1. trial stress를 spectral decomposition
2. ANN으로 updated principal stress 도출
3. effective plastic strain update
   1. consistency 가 유지된다고 생각하여,  
   2. ${\bar{\epsilon }}^{p,n+1}$   의 경우 따라서 ${\bar{\epsilon }}^{p,n+1}=(\frac{\rho }{K}{)}^{\frac{1}{n}}-{\epsilon }_0$으로 계산됨
      이 때 K, n, epsilon_0는 constants of Swift law
      ⇒ effective plastic strain이 hardening law에 기반하여 계산됨$\rho =K({\bar{\epsilon }}^{p,n+1}+{\epsilon }_0{)}^n$
      
      ★ 정리하면, updated stress로 yield stress를 계산한 뒤($\bar{\sigma }({\mathbf{\sigma }}^{n+1})$) consistency 조건을 가정해 이 값이 flow stress($\rho$)와 같다고 생각함
      ⇒ 이걸로 effective plastic strain update값을 계산함
4. material coordinate에 맞춰 rotation transformation
   ${\sigma }^{n+1}={\sum }_{A=1}^2{\sigma }_A^{n+1}{n}^A\otimes n^A={\sum }_{i=1}^2{\sum }_{j=1}^2{\sigma }_{ij}^{n+1}{e}^i\otimes e^j$

“3.Training data and neural architecture with one element FEM”

3.1.Review of plane stress return mapping method

$\dot{\mathbf{\epsilon }}={\dot{\mathbf{\epsilon }}}^e+{\dot{\mathbf{\epsilon }}}^{\rho }$  - strain의 elastic part와 plastic part 분리 $\mathbf{\sigma }={\mathbf{C}}^e{\mathbf{\epsilon }}^e$  - elastic relationship $f=\frac{1}{2}{\mathbf{\sigma }}^T\mathbf{P}\mathbf{\sigma }-\frac{1}{3}{\rho }^2\left({\bar{\epsilon }}^p\right)$ 

• consitency condition, 앞에서 R값 ${\dot{\mathbf{\epsilon }}}^p=\dot{\gamma }\mathbf{P}\mathbf{\sigma }$ ${\dot{\epsilon }}^p=\dot{\gamma }\sqrt{\frac{2}{3}{\mathbf{\sigma }}^T\mathbf{P}\mathbf{\sigma }}$ 리턴 매핑에서 일반적인 elastic predictor framework을 고려했을 때 elastic predictor state 는 다음과 같이 계산됨 ${\epsilon }^{n+1}={\epsilon }^n+\Delta \epsilon$  strain을 일정 분율 증가시켜 예측값 ${\mathbf{\sigma }}^{n+1}={\mathbf{C}}^e\left({\epsilon }^{n+1}-{\epsilon }^p\right)$  해당 예측 strain을 이용해 stress 계산, elastic part만 사용하기 위해 plastic strain 빼주는 것 같음 $f^{TR}=\frac{1}{2}{\left({\mathbf{\sigma }}^{TR}\right)}^T\mathbf{P}{\mathbf{\sigma }}^{TR}-\frac{1}{3}{\rho }^2\left({\bar{\epsilon }}^{p,TR}\right)$ 여기서 consistency condition이 0 이하면 process는 elastic 그러나 0보다 클 경우, plastic return mapping을 거치고, backward-Euler difference scheme (아래 식 풀어서)사용 ${\mathbf{\epsilon }}^{p,n+1}={\mathbf{\epsilon }}^{p,n}+\Delta \gamma \mathbf{P}{\mathbf{\sigma }}^{n+1}$ ${\bar{\epsilon }}^{p,n+1}={\bar{\epsilon }}^{p,n}+\Delta \gamma \sqrt{\frac{2}{3}{\left({\mathbf{\sigma }}^{n+1}\right)}^T\mathbf{P}{\mathbf{\sigma }}^{n+1}}$ $\frac{1}{2}{\left({\mathbf{\sigma }}^{n+1}\right)}^T\mathbf{P}{\mathbf{\sigma }}^{n+1}-\frac{1}{3}{\rho }^2\left({\bar{\epsilon }}^{p,n+1}\right)=0$ 여기서 $\Delta \gamma$ 은 plastic Lagrange multiplier. isotropic linear elasticity를 가정해서 계산되며 Cauchy stress vector는 다음과 같음 ${\mathbf{\sigma }}^{n+1}={\mathbf{\sigma }}^n+{\mathbf{C}}^e\Delta {\mathbf{\epsilon }}^e$         $={\mathbf{\sigma }}^n+{\mathbf{C}}^e\left(\Delta \mathbf{\epsilon }-\Delta {\mathbf{\epsilon }}^p\right)$ $\because {\mathbf{\sigma }}^{TR}={\mathbf{\sigma }}^n+{\mathbf{C}}^e\Delta \mathbf{\epsilon }$ ${\mathbf{\sigma }}^{n+1}={\mathbf{\sigma }}^{TR}-{\mathbf{C}}^e\Delta \gamma \mathbf{P}{\mathbf{\sigma }}^{n+1}$ $\Delta \gamma$ 은 consistency condition이 0이 되도록 NR을 통해 결정됨 $f(\Delta \gamma ):=\frac{1}{2}{\left({\sigma }^{n+1}\right)}^T\mathbf{P}{\sigma }^{n+1}(\Delta \gamma )-\frac{1}{3}{\rho }^2\left({\bar{\epsilon }}^{p,n}+\Delta \gamma \sqrt{\frac{2}{3}{\left({\sigma }^{n+1}\right)}^T\mathbf{P}{\sigma }^{n+1}(\Delta \gamma )}\right)=0$ 이 경우 plane stress를 가정했으므로 z축 strain은 이렇게 결정됨 ${\epsilon }_{33}=-\frac{\nu }{E}\left({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}\right)-\left({\epsilon }_{xx}^p+{\epsilon }_{yy}^p\right)$ elastoplastic tangent modulus는 아래와 같이 정의됨 ⇒ consistent modulus? $d{\mathbf{\sigma }}^{n+1}={\mathbf{C}}^{ep}d{\epsilon }^{n+1}$ ${\mathbf{C}}^{ep}=\overline{\mathbf{C}}-\frac{\overline{\mathbf{C}}{\mathbf{m}}_{n+1}\otimes \overline{\mathbf{C}}{\mathbf{m}}_{n+1}}{{\mathbf{m}}_{n+1}\overline{\mathbf{C}}{\mathbf{m}}_{n+1}+h^{\prime }}$ $\overline{\mathbf{C}}={\left[{\mathbf{C}}^{e^{-1}}+\gamma \frac{\partial {\mathbf{m}}_{(n+1)}}{\partial {\sigma }_{(n+1)}}\right]}^{-1},\mathbf{m}=\frac{\partial \bar{\sigma }}{\partial \mathbf{\sigma }},{\mathbf{C}}^e=\frac{E}{1-{\nu }^2}\left[\begin{array}{lll}1& \nu & 0\\ \nu & 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-\nu }{2}\end{array}\right]$   여기에 NN 구성방정식을 적용할경우, trial stress를 input으로 사용하기 전 회전변환을 통해 principal trial stress로 변환 후 input으로 사용함. $[{\sigma }_{xx}^{TR},{\sigma }_{yy}^{TR},{\sigma }_{xy}^{TR}{]}^T\Rightarrow [{\sigma }_1^{TR},{\sigma }_2^{TR}{]}^T$ 이후 출력된 n+1 step에서의 principal stress는 다시 xx, xy, yy에 대해 역회전변환이 이루어짐. (θ값이 회전변환 시 기억되어야함)

3.2.An investigation into a suitable training dataset

훈련 데이터는 기존의 theoretical return mapping scheme에 기반하여 numerically 생성됨 2개의 trial stress는 prescribed current flow stress와 2 updated stress를 활용하여 다음 식에 의해 계산됨 위에선 trial stress를 계산하고 principal stress로 변환한다고 했는데 여기선 반대로 기술하고 있음.. $\left[\begin{array}{l}{\sigma }_1^{TR}\\ {\sigma }_2^{TR}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{\sigma }_1\\ {\sigma }_2\end{array}\right]$  + $\Delta \gamma \frac{E}{1-v^2}\left[\begin{array}{lc}1& v\\ v& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}(2{\sigma }_1-{\sigma }_2)/2\bar{\sigma }\\ (2{\sigma }_2-{\sigma }_1)/2\bar{\sigma }\end{array}\right]$   training data size는 2개의 design variable에 의해 결정됨

1. density of data on hardening curve ⇒ input variable인 flow stress와 관련됨flow stress 상에서 effective plastic strain 으로 결정되는 flow stress값
2. density of data on the yield surface at the given hardening ⇒ output variable인 sigma 1,2와 관련됨
   symmetry를 고려해서 범위 선정
   density를 결정해야함. equivalent plastic strain은 non-uniform으로 형성, grid interval이 결정되어야 density가 결정됨
   $({\bar{\epsilon }}_{n+1}^p-{\bar{\epsilon }}_n^p)$ 이 non uniform이며, n은 경화곡선 상 datapoint 순서를 나타냄
   Swift law를 이용한 경화곡선은 다음과 같이 나타남 $\rho ({\bar{\epsilon }}^{-p,n+1})=K^{\ast }({\epsilon }_o+{\bar{\epsilon }}^{p,n+1}{)}^n[MPa]$ 여기서 K, ${\epsilon }_0$ , n은 materials flow stress curve에 기반하여 계산됨..? 실험 결과 피팅한다는 말인듯
   maximum value 0.1로 해서 n개의 data point 설정, 밀도 order 다르게 설정해서 10 epoch 훈련 후 최대오차 비교
   ⇒ set2로, point 200개 사용함. 추후에 실제 dataset 사용할 때 는 maximum value 0.6으로 사용했음 (최종 point 수 1200개)
   (Jang 등, 2021, p. 9) 각각 2output sig1, sig2에 대해 MSE, set1의 경우가 overfitting 없음을 확인. 2nd data도 마찬가지로 200 epoch 훈련 진행 후 overfit 현상 확인함. → set2가 overfitting없어서 사용함. ⇒ dataset 개수 180개
   (Jang 등, 2021, p. 9) large deformation regime을 고려하여 maximum eps를 0.6으로 설정
   (Jang 등, 2021, p. 9) 이 때 너무 큰 lodaing path는 제외하였고, $\bar{\sigma }({\mathbf{\sigma }}^{TR})-\rho ({\bar{\epsilon }}^p)>1.2^{\ast }(initialyieldstress)$ 즉 R값이 너무 큰 경우를 제외함. 최종 dataset size는 338182개로, 이 중 90퍼는 training에, 10퍼는 test에, 0.1퍼는 validation set (overfit 없도록 validation set의 cost function 모니터)으로 사용됨 50 epoch 이상 cost function for validation set의 차이가 발생하지 않는다면 training 멈춤 Referred in Workspace Note Referred in Workspace Note Referred in Workspace Note